Entendiendo el cubo de Rubik a través de la teoría de grupos.
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Rodrigo Flores
(UdelaR)
Rodrigo Flores
(UdelaR)
Si tenemos un cubo de Rubik resuelto y aplicamos una cadena cualquiera de movimientos, este se desarma. Ahora, si continuamos aplicando dicha cadena reiteradamente, el cubo parece volver eventualmente al estado resuelto. Si rotamos una esquina del cubo de Rubik no se puede resolver sin volver a usar este movimiento no permitido. Si buscamos una forma de armarlo en internet, esta parece no tener en cuenta todas las posibilidades. ¿Por qué sucede todo eso?
En esta charla buscamos darle una respuesta a todas estas interrogantes, y para esto veremos al cubo de Rubik como un grupo. Iniciaremos definiendo que es un grupo y probando algunos resultados sencillos que permiten responder rápidamente a algunas de estas preguntas. Luego usaremos resultados conocidos de la teoría de grupos para deducir propiedades interesantes del cubo. Lo que nos permitirá, entre otras cosas, desarrollar una estrategia para resolverlo.
No asumiremos ningún conocimiento previo. Vamos a tener algunos cubos para poder ir jugando mientras vemos la teoría.
Sergi Burniol
(UdelaR)
Voy a presentar algunos resultados sobre las propiedades dinámicas del flujo horocíclico de una superficie no necesariamente hiperbólica. Este flujo se puede definir en el fibrado tangente unitario de cualquier superficie RIemanniana sin puntos conjugados, en particular, de cualquier superficie de curvatura no positiva. Si bien el contexto clásico para el estudio de estos sistemas es el de la superficies hiperbólicas o de curvatura negativa variable, veremos como algunas propiedades son más generales. Concretamente, hablaré de un resultado topológico y uno ergódico, que són la clasificación de la clausura de las órbitas horocíclicas para una superficie geométricamente finita de curvatura no positiva y la ergodicidad única del flujo horcíclico para una superficie compacta sin puntos conjugados.
Valeria Goicochea
(UdelaR)
La teoría de los grandes desvíos tiene que ver con el estudio de las probabilidades de sucesos muy raros. Para entender por qué ciertos sucesos raros pueden ser importantes, basta con pensar en el enorme impacto que podría tener en nuestras vidas ganar “La grande de fin de año” (ex “Gordo de fin de año”), en el caso de que compremos algún boleto. Por supuesto, este es el caso de un suceso raro con repercusiones positivas. Pero, por otro lado, también podríamos pensar en el enorme impacto que pueden tener en nuestras vidas los acontecimientos raros con consecuencias catastróficas, ya sea en términos de medio ambiente, economía, medios de transporte, comunicaciones, etcétera. La historia del estudio de los grandes desvíos comienza con un problema práctico en el trabajo de Esscher (1932), en donde se analizan sucesos raros para una situación financiera en el que el importe total de los reclamos de seguros supera la reserva de la aseguradora. En ese trabajo, los importes reclamados se modelan mediante variables aleatorias independientes con idéntica distribución de Poisson. El evento raro era que la media de estas variables fuera mucho mayor que el valor esperado de esta variable. Esto iba a ser un preámbulo del futuro trabajo de Cramér (1938), en el que se analiza la misma pregunta para la media de variables aleatorias con cualquier distribución. Desde entonces, ha sido necesario definir matemáticamente qué significa que un evento sea raro. En 1966, Varadhan desarrolló una formalización unificada de la teoría de los grandes desvíos. Desde el punto de vista de la física, existen resultados previos de grandes desvíos en la formulación de la ecuación de Boltzmann (1872). En esta charla, pienso contar un poco sobre la historia del estudio de los grandes desvíos, dar una definición básica y presentar los principales resultados, contextualizados desde el punto de vista de la física y la matemática.
Rebeca Magallanes
(CFE)
El proyecto consistió en una intervención didáctica que se implementó en un curso de Geometría y Álgebra Lineal (GAL), asignatura específica del segundo año del profesorado de Matemática, en un Instituto de Formación Docente de Uruguay. Tomó insumos de la literatura referidos a dificultades relativas a la comprensión del concepto solución de un sistema de ecuaciones lineales. Siguiendo una modalidad de trabajo colaborativa entre un docente investigador y un docente formador, la intervención consistió en (a) el diseño de dos secuencias de actividades para trabajar los conceptos solución y conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas con los estudiantes de profesorado, (b) la implementación de las secuencias en un aula de formación docente en un curso de GAL, y (c) la reflexión posterior a la implementación. Se concluyó que, en general, los estudiantes que participaron del proyecto no establecen conexiones entre las matemáticas que están aprendiendo y las que deberán enseñar. Se recomendó que los formadores deberían crear puentes entre el conocimiento común del contenido matemático que están aprendiendo los estudiantes y el conocimiento matemático especializado, necesario para la labor docente.
María Inés Fariello
(UdelaR)
Cuando preparamos galletitas con chips de chocolate, usualmente mezclamos bien, intentando que las galletitas queden con la misma cantidad de galletas. ¿Es posible lograrlo?
En este taller nos haremos las siguientes preguntas y usaremos la teoría de la probabilidad y de la estadística para responderlas: ¿Cuántas chispas de chocolate tiene una galletita? ¿Es siempre la misma cantidad o la cantidad que tiene cada galletita es aleatoria? ¿Se puede estimar su distribución? ¿Todas las marcas ponen la misma cantidad de chispas? ¿Podemos diferenciar marcas de galletas según la cantidad de chispas que pusieron?
Javier Cóppola
(UdelaR)
Una $k$-biálgebra $A$ es a la vez una $k$-álgebra y una $k$-coálgebra, donde ambas estructuras son compatibles. Para la compatibilidad de la multiplicación con la comultiplicación, previamente hay que definir una multiplicación en el producto tensorial de $A$ con $A$. La manera usual de hacerlo nos da la noción clásica de biálgebra, pero se puede generalizar esta construcción obteniendo las llamadas biálgebras trenzadas. Por otra parte, la counidad de $A$ le da al cuerpo $k$ estructura de $A$-bimódulo, lo cual permite construir la cohomología de Hochschild de $A$ con coeficientes en $k$. Esta es una $k$-álgebra graduada, que resulta ser graduada conmutativa en el caso en que $A$ es una biálgebra. En esta charla veremos la versión trenzada de esta afirmación, y cómo hemos ido avanzando en su respuesta afirmativa. Este trabajo formó parte de mi tesis de doctorado orientado por Andrea Solotar, y ha sido continuado con ella y con Iván Angiono.