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Grupos finitos de isometrías del plano y del espacio
Un tema que siempre ha sido de interés es el estudio de las simetrías, tanto de figuras en el plano como de objetos en el espacio, lo cual, aparte de su lado matemático, tiene múltiples aplicaciones en el arte, la arquitectura, la cristalografía, etc. Concentrándonos en el caso plano, lo que buscamos es poder determinar de alguna manera cuán simétrica es una figura, para lo cual usamos las isometrías. Ahora cuando consideramos el conjunto de todas las simetrías de una figura, vemos que tiene una estructura natural de grupo. Si la figura no es excesivamente simétrica, lo cual es la situación más común, pensemos por ejemplo un polígono, entonces su grupo de simetrías va a ser finito. Por lo tanto, si logramos determinar cómo son los grupos finitos de isometrías del plano, entonces podremos saber cómo es el grupo de simetrías de cualquiera de estas figuras. Esto nos permite compararlas, clasificarlas, etc.
El objetivo de esta charla entonces es el estudio de los grupos finitos de isometrías del plano y del espacio. Para esto necesitamos entender los grupos de simetrías de los polígonos regulares y de los poliedros regulares (los sólidos platónicos), los cuales están relacionados con algunos grupos abstractos (cíclicos y diedrales) y ciertos grupos de permutaciones. En resumen, veremos que la estructura que tienen los grupos finitos de isometrías (que es un concepto algebraico) aparece directamente relacionada con las propiedades de simetría de los polígonos y poliedros (que son objetos geométricos), y entender cada uno ayuda a entender al otro.
Para esta charla solo se presumen conocimientos básicos de geometría, como los que se estudian en los cursos de secundaria. Lo poco que se necesita de grupos será introducido durante la misma.