Formulas de monotonía en EDP: un vínculo entre teorías elípticas y sus contrapartes parabólicas

Es bien sabido que las ecuaciones elípticas pueden considerarse como soluciones estacionarias de problemas parabólicos asociados. En particular, si conocemos cotas a priori para las soluciones del problema parabólico asociado, estas también brindarán información acerca de las soluciones del problema elíptico. Sin embargo, lo que las estimaciones a priori de soluciones a problemas elípticos implica en sus contrapartes parabólicas es menos conocido. En este contexto, una pregunta que surge naturalmente es: dada una ecuación parabólica, ¿Se le puede asociar una ecuación elíptica que nos brinde información acerca del problema original? Este punto de vista, anteriormente utilizado por Perelman para estudiar el flujo de Ricci, ha sido formalizado recientemente y promete ser una herramienta poderosa, permitiendo obtener nuevas fórmulas de monotonía para ecuaciones de tipo parabólico. Nuestro objetivo será introducir dicho enfoque e ilustrar algunas de sus aplicaciones, mencionando también trabajos en curso y algunos problemas abiertos.