Condiciones de finitud en la categoría de $R$-módulos y Aplicaciones

El concepto de módulo finitamente $n$-presentado sobre un anillo asociativo con unidad $R$ fue introducido por primera vez en 1976 en el trabajo de Bieri.

Siguiendo la notación empleada en dicho trabajo, diremos que un $R$-módulo $M$ es de tipo $FP_n$ si los funtores

$Ext^{i}_R(M,-)$

conmutan con límites directos de $R$-módulos para todo $i$ en el rango $0 \leq i < n$.

La propiedad de ser un módulo de tipo $FP_n$ implica la existencia de una resolución $$ P_n \rightarrow P_{n-1} \rightarrow \cdots \rightarrow P_1 \rightarrow P_0 \rightarrow M \rightarrow 0 $$

donde cada $P_i$ es un $R$-módulo proyectivo y finitamente generado para $0 \leq i \leq n$. Bajo esta definición, la clase de los módulos de tipo $FP_0$ ($FP_1$) son precisamente los módulos finitamente generados (presentados). Los módulos de tipo $FP_n$ permiten caracterizar una amplia gama de anillos, generalizando los clásicos anillos Noetherianos y coherentes. El propósito de esta charla es presentar los resultados fundamentales en esta área, así como algunos aportes y aplicaciones de los módulos de tipo $FP_n$ en la $K$-teoría y en el estudio de ciertas propiedades homológicas de los anillos de grupo y los anillos torcidos de grupo.