Una breve introducción a la teoría de los grandes desvíos

La teoría de los grandes desvíos tiene que ver con el estudio de las probabilidades de sucesos muy raros. Para entender por qué ciertos sucesos raros pueden ser importantes, basta con pensar en el enorme impacto que podría tener en nuestras vidas ganar “La grande de fin de año” (ex “Gordo de fin de año”), en el caso de que compremos algún boleto. Por supuesto, este es el caso de un suceso raro con repercusiones positivas. Pero, por otro lado, también podríamos pensar en el enorme impacto que pueden tener en nuestras vidas los acontecimientos raros con consecuencias catastróficas, ya sea en términos de medio ambiente, economía, medios de transporte, comunicaciones, etcétera. La historia del estudio de los grandes desvíos comienza con un problema práctico en el trabajo de Esscher (1932), en donde se analizan sucesos raros para una situación financiera en el que el importe total de los reclamos de seguros supera la reserva de la aseguradora. En ese trabajo, los importes reclamados se modelan mediante variables aleatorias independientes con idéntica distribución de Poisson. El evento raro era que la media de estas variables fuera mucho mayor que el valor esperado de esta variable. Esto iba a ser un preámbulo del futuro trabajo de Cramér (1938), en el que se analiza la misma pregunta para la media de variables aleatorias con cualquier distribución. Desde entonces, ha sido necesario definir matemáticamente qué significa que un evento sea raro. En 1966, Varadhan desarrolló una formalización unificada de la teoría de los grandes desvíos. Desde el punto de vista de la física, existen resultados previos de grandes desvíos en la formulación de la ecuación de Boltzmann (1872). En esta charla, pienso contar un poco sobre la historia del estudio de los grandes desvíos, dar una definición básica y presentar los principales resultados, contextualizados desde el punto de vista de la física y la matemática.